الجبر الخطي الأمثلة

$x + y + 3 z = 11$ , $x + y + 8 z = 36$ , $x + 6 y + 2 z = 1$

خطوة 1

اكتب سلسلة المعادلات في شكل مصفوفة.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 11 \\ 1 & 1 & 8 & 36 \\ 1 & 6 & 2 & 1 \end{array}]$

خطوة 2

أوجِد الصيغة الدرجية المختزلة صفيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 11 \\ 1 - 1 & 1 - 1 & 8 - 3 & 36 - 11 \\ 1 & 6 & 2 & 1 \end{array}]$

خطوة 2.1.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 11 \\ 0 & 0 & 5 & 25 \\ 1 & 6 & 2 & 1 \end{array}]$

خطوة 2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 11 \\ 0 & 0 & 5 & 25 \\ 1 - 1 & 6 - 1 & 2 - 3 & 1 - 11 \end{array}]$

خطوة 2.2.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 11 \\ 0 & 0 & 5 & 25 \\ 0 & 5 & - 1 & - 10 \end{array}]$

خطوة 2.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 11 \\ 0 & 5 & - 1 & - 10 \\ 0 & 0 & 5 & 25 \end{array}]$

خطوة 2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 11 \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{- 1}{5} & \frac{- 10}{5} \\ 0 & 0 & 5 & 25 \end{array}]$

خطوة 2.4.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 11 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & - 2 \\ 0 & 0 & 5 & 25 \end{array}]$

خطوة 2.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{5}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 11 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & - 2 \\ \frac{0}{5} & \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{25}{5} \end{array}]$

خطوة 2.5.2

بسّط $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 11 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{5} & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}]$

خطوة 2.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{1}{5} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{1}{5} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 11 \\ 0 + \frac{1}{5} \cdot 0 & 1 + \frac{1}{5} \cdot 0 & - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} \cdot 1 & - 2 + \frac{1}{5} \cdot 5 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}]$

خطوة 2.6.2

بسّط $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 3 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}]$

خطوة 2.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 11 - 3 \cdot 5 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}]$

خطوة 2.7.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & - 4 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}]$

خطوة 2.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & - 4 + 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}]$

خطوة 2.8.2

بسّط $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}]$

خطوة 3

استخدِم مصفوفة النتيجة لبيان الحلول النهائية لسلسلة المعادلات.

$x = - 3$

$y = - 1$

$z = 5$

خطوة 4

الحل هو مجموعة الأزواج المرتبة التي تجعل النظام صحيحًا.

$(- 3, - 1, 5)$

خطوة 5

حلّل متجه الحل بإعادة ترتيب كل معادلة ممثلة بالصيغة المختزلة صفيًا للمصفوفة الموسّعة من خلال إيجاد المتغير غير المستقل في كل صف ينتج عنه تساوي المتجه.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - 3 \\ - 1 \\ 5 \end{array}]$